Entanglement, cos’è, come nasce, come si può utilizzare nei computer

Il concetto di “entanglement”, definito da Erwin Schrödinger come “la peculiarità della meccanica quantistica”, è basato sul principio di sovrapposizione degli stati e sulla non separabilità degli stati delle parti di un sistema composto. Coppie di fotoni entangled in polarizzazione possono essere create quando un fascio laser attraversa un cristallo non-lineare come il beta borato di bario. Si può dimostrare sperimentalmente che il cristallo converte un fotone ultravioletto in due fotoni di energia più bassa nel vicino infrarosso, l’uno polarizzato orizzontalmente visualizzando un cono rosso, l’altro polarizzato verticalmente visualizzando un cono blu. Si sta manipolando un semplice granello di materia, ossia un frammento di cristallo di silice non più grande di un virus, che levita in un raggio di luce, per cui si può riuscire in modo indipendente a congelare nanoparticelle così minuscole di appena 100-140 nanometri di diametro.

Entanglement quantistico, un po’ di storia

All’inizio del ventesimo secolo le teorie della fisica classica erano in grado di descrivere coerentemente la meccanica e la termodinamica dei corpi macroscopici, ciononostante le previsioni riguardanti la struttura atomica in dettaglio e l’interazione radiazione-materia, in particolare il problema di determinare il potere emissivo del corpo nero, fornivano risultati piuttosto dubbi. Queste ambiguità sono state definitivamente eliminate negli anni ’20 con lo sviluppo della meccanica quantistica, grazie ai contributi di fisici come Schroedinger, Heisenberg, Bohr e Pauli. La struttura di questa nuova teoria fisica appena delineata ha messo in luce una serie di proprietà strabilianti e per nulla intuitive relativamente al mondo microscopico, come ad esempio il dualismo onda-particella, il principio di indeterminazione, l’effetto tunnel e l’entanglement. Per di più la natura intrinsecamente statistica di questa teoria ha introdotto un tipo di indeterminazione che è stata fonte di preoccupazioni e di dibattiti sia per i fisici che per i filosofi riguardo alla struttura della materia.

Il punto di vista che in questo momento viene ampiamente accettato dalla comunità scientifica viene detto interpretazione di Copenhagen e pone al centro della teoria l’atto della misurazione, per citare il fisico tedesco P. Jordan “Le osservazioni non solo disturbano ciò che si misura, ovvero esse lo producono”. Il ruolo della misura in meccanica quantistica è così critico e strano che ognuno può chiedersi a ragione che cosa costituisca esattamente una misura; per il momento lasciamo al lettore lo stimolo per ulteriori ragionamenti in merito alla natura dell’Entanglement Quantistico.

Secondo la meccanica classica lo stato di un sistema di n particelle in un determinato istante di tempo t è determinato unicamente dai valori di posizione e velocità di tutte le particelle a quell’istante di tempo; date le condizioni iniziali e la legge di Newton, le equazioni del moto permettono di calcolare l’evoluzione temporale del sistema ad ogni istante di tempo t. La teoria quantistica si basa invece su architetture matematiche completamente differenti e che possono essere sintetizzate in quattro postulati:

1. L’insieme di tutte le informazioni contenute in un sistema fisico è codificato all’interno di un vettore di stato a norma unitaria, chiamato funzione d’onda, appartenente ad uno spazio di Hilbert associato al sistema. L’evoluzione temporale della funzione d’onda è definita dall’equazione di Schroedinger:

𝑑

𝒾ℏ |ψ(t)⟩ = 𝐻ψ(t)⟩

𝑑𝑡

dove H è un operatore auto aggiunto che definisce l’Hamiltoniana del sistema, mentre ℏ è la costante di Planck ridotta:

1. Ogni proprietà a misurabile di un sistema quantistico è detta osservabile e viene rappresentata da un operatore auto aggiunto nello spazio di Hilbert del sistema. L’esito di un qualsiasi processo di misura sul sistema di un certo osservabile A restituisce con certezza uno dei suoi autovalori ai determinati dall’equazione agli autovalori seguente:

𝐴|𝒾⟩ = 𝒶_𝒾|𝒾⟩

dove |𝒾⟩ è una base ortonormale di autovettori per l’operatore A; a questo punto conviene espandere la funzione d’onda nella stessa base:

|ψ(t)⟩ = ∑_𝑖 𝑐_𝒾(t)𝑖⟩

di conseguenza la probabilità che la misura di A fornisca come risultato 𝒶_𝒾 al tempo t risulta essere probabilità:

2 2 ²

𝑝(𝑎 = 𝑎_𝑖, 𝑡) = |⟨𝑖|ψ(t)⟩⟩| = |⟨𝑖| ∑_𝑗 𝑐_𝑗(t)|𝑗⟩⟩| = |𝑐_𝑖(t)|

3. I processi di misura in meccanica quantistica sono tipicamente distruttivi, ovvero dato un sistema nello stato j i la misura dell’osservabile A fornisce come risultato uno dei suoi autovalori 𝑎_𝑖 e causa il collasso del sistema nello stato definito da tale autovalore:

𝑃_𝑖|𝜓⟩

(⟨𝜓|𝑃_𝑖|𝜓⟩)1_⁄2

dove 𝑃_𝑖 è l’operatore di proiezione sul sottospazio corrispondente ad 𝒶_𝒾, più specialmente in assenza di degenerazione 𝑃_𝑖 = |𝑖 >< 𝑖|. A questo punto risulta comodo scrivere la probabilità di ottenere l’autovalore 𝑎_𝑖 per l’osservabile A come:

𝑝_𝑖 = ⟨𝜓|𝑃_𝑖|𝜓⟩

Dalla teoria della probabilità risulta quindi che il valore medio per l’osservabile A vale la seguente formula:

〈𝐴〉 = ∑_𝑖 𝑎_𝑖 𝑝_𝑖 = ∑_𝑖 𝑎_𝑖⟨𝜓|𝑃_𝑖|𝜓⟩ = ⟨𝜓| ∑_𝑖 𝑎_𝑖 𝑃_𝑖|𝜓⟩ = ⟨𝜓|𝐴|𝜓⟩

4. Lo spazio degli stati di un sistema fisico composto è il prodotto tensoriale degli spazi degli stati dei singoli sistemi fisici componenti. In particolare, dati n sistemi ognuno preparato in uno stato |𝜓_𝑖⟩, lo stato complessivo del sistema vale la seguente combinazioni di stati: |𝜓₁⟩ ⊗ |𝜓₂⟩ … ⊗ |𝜓_𝑛⟩

La sovrapposizione degli stati

Dopo aver immagazzinato qualche concetto base di meccanica dei quanti sorgerebbe spontaneo chiedersi in che modo sia possibile sfruttare la natura quantistica della materia per costruire un calcolatore totalmente innovativo, l’idea si inizia a diffondere negli anni ’80 ed è dovuta a Richard Feynman. Tipicamente la potenza computazionale di un computer quantistico è dovuta a due fenomeni puramente quantistici come la sovrapposizione (o interferenza) quantistica e l’entanglement. Il principio di sovrapposizione è una diretta conseguenza della linearità dell’equazione di Schroedinger: se |𝜓₁(𝑡)⟩ 𝑒 |𝜓₂⟩ sono soluzioni linearmente indipendenti del prodotto tensoriale di spazi vettoriali di Hilbert, allora anche una loro combinazione lineare

|𝜓(𝑡)⟩ = 𝛼|𝜓₁(𝑡)⟩ + 𝛽 |𝜓₂(𝑡)⟩

risolve il prodotto tensoriale, dove 𝛼 𝑒 𝛽 sono due numeri complessi qualsiasi. Il fenomeno più affascinante e controverso della meccanica quantistica risulta però essere l’entanglement, una proprietà osservata nei sistemi quantistici composti. Per il quarto postulato lo spazio di Hilbert associato a un sistema composto è il prodotto tensoriale degli spazi di Hilbert Hi associati ai singoli componenti del sistema. Consideriamo ora il caso più semplice di un sistema quantistico bipartito ℋ = ℋ₁ ⊗ ℋ₂. Una base per ℋ si costruisce a partire dal prodotto tensoriale dei vettori di base di ℋ₁ ℋ₂; nel caso in cui ℋ₁ ℋ₂ sono bidimensionali i vettori di base sono:

{|0⟩₁||1⟩₁}, {|0⟩₂||1⟩₂}

{|0⟩₁ ⊗ |0⟩₂, |0⟩₁ ⊗ |1⟩₂, |1⟩₁ ⊗ |0⟩₂, |1⟩₁ ⊗ |1⟩₂, }

Per ℋ₁ ℋ₂ 𝑒 ℋ rispettivamente. Lo stato più generale in ℋ, però, non risulta essere il prodotto tensoriale di stati rispettivamente in ℋ₁, ℋ₂, bensì una loro combinazione lineare in virtù del principio di sovrapposizione:

| 𝑐_𝒾𝑗𝑖⟩₁ ⊗𝑗⟩₂ = ∑_𝑖𝑗 𝑐_𝒾𝑗𝑖𝑗⟩

Per definizione uno stato in ℋ viene detto entangled, o non separabile, se non è possibile scriverlo come il semplice prodotto tensoriale di uno stato |𝛼⟩₁ appartenente ad ℋ₁ e uno stato |𝛽⟩₂ di ℋ₂; in contrasto, se è possibile scrivere uno stato di ℋ come

|𝜓⟩ = |𝛼⟩₁ ⊗ |𝛽⟩₂

lo stato |𝜓⟩ viene detto separabile. Per esempio, lo stato di singoletto di spin

|𝜓⟩

è uno stato entangled, mentre lo stato

|𝜓⟩ ⟩

è uno stato separabile. La sostanziale differenza fra le due espressioni rende conto delle intriganti proprietà dell’entanglement, in particolare attraverso questo fenomeno è stato mostrato in un celebre articolo del 1935 firmato da Einstein, Podolski e Rosen (detto anche paradosso di EPR dalle iniziali degli autori) come la meccanica quantistica abbia una natura contraddittoria se si assume per vera l’ipotesi del realismo locale, basata sulle due seguenti assunzioni:

1. Principio di realtà: Se risulta possibile predire con certezza il valore di una quantità fisica allora questa quantità possiede una realtà fisica indipendentemente dall’osservazione; ovvero se la funzione d’onda di un sistema |𝜓⟩ si trova in un autostato di un operatore |𝐴⟩, 𝐴|𝜓⟩ = 𝑎 |𝜓⟩, allora il valore a dell’osservabile A è un elemento della realtà fisica.
2. Principio di località: Se due sistemi sono causalmente disconnessi, ovvero quando (Δx)² > 𝑐²(Δt)² dove Δ𝑥 𝑒 Δ𝑡² sono le distanze spaziali e temporali fra i due eventi in un sistema inerziale, allora il risultato di una misura effettuato sul primo sistema non può influenzare l’esito di una misura effettuata sul secondo sistema.

Due sistemi entangled come, ad esempio, lo stato |𝜓₁⟩ non verificano le ipotesi EPR, in quanto l’esito di una misura sul primo componente influenza istantaneamente l’esito della stessa misura sul secondo, infatti esiste un importante teorema no-cloning theorem, che garantisce la coerenza interna della meccanica quantistica pur spiegando fenomeni come la sovrapposizione e l’entanglement.

L’entanglement quantistico e il qubit

Un qubit si comporta come se fosse in 0 e 1 contemporaneamente. L’entanglement quantistico è un tipo speciale di sovrapposizione tra due o più qubit, sfruttando l’interazione con i qubit si possono eseguire calcoli estremamente difficili, che altrimenti non sarebbero possibili. L’idea dei computer quantistici può essere fatta risalire al fisico e premio Nobel Richard P. Feynman. In un documento datato 1982, Feynman postulò questo: per simulare i sistemi quantistici su una macchina dovrebbe essere necessario costruire computer quantistici.

La potenza dei computer quantistici si misura in numero di qubit, che lavorano nella stessa macchina.

La prima macchina quantistica è stata implementata nel 1998 come un registro a 2 qubit.

Nel 1994 il matematico americano Peter Shor progettò un protocollo pioneristico, che fu la prima chiara minaccia da parte dei computer quantistici alla crittografia classica. L’algoritmo di Shor è un algoritmo che agisce sui polinomi, che può essere eseguito su qualsiasi computer quantistico e risolvere il problema della fattorizzazione dei numeri interi.

I nuovi computer quantistici funzionano con paradigmi totalmente nuovi rispetto ai computer classici, sfruttando fenomeni quantomeccanici come la sovrapposizione quantistica degli stati ed entanglement, inoltre usano oggetti come gli elettroni, le molecole, i fotoni o persino piccoli circuiti elettronici con effetti quantistici, che utilizzano il concetto di spin, che è una rotazione dell’elettrone, considerando leggi fisiche diverse da quelle utilizzate.

Nell’immagine a lato si vede una rappresentazione artistica della sfera di Bloch: i due poli della sfera corrispondono agli stati puri |0⟩ 𝑒 |1⟩, mentre i punti sull’equatore corrispondono ad una sovrapposizione omogenea degli stati |0⟩ 𝑒 |1⟩.

Un bit classico è rappresentato da un sistema che può esistere in due stati diversi, come ad esempio un circuito, in cui passa o meno corrente; invece, un qubit (quantum bit) è rappresentato da un sistema quantistico a due livelli in uno spazio di Hilbert bidimensionale. In questo spazio risulta possibile scegliere una coppia di vettori di base ortonormali per rappresentare i corrispondenti valori 0 e 1 del bit classico. Questi due stati rappresentano la base computazionale e un qualsiasi stato di ogni qubit può essere scritto come:

|𝜓⟩ = 𝛼|0⟩ + 𝛽|1⟩

con la condizione di normalizzazione:

|𝛼|² + |𝛽|² = 1

Tuttavia, a differenza di un bit classico, un qubit vive in uno spazio vettoriale parametrizzato da variabili continue (ad esempio 𝛼 e 𝛽); di conseguenza, per i postulati della meccanica quantistica, può venire a trovarsi non solo nello stato |0⟩ o nello stato |1⟩, ma in una qualsiasi sovrapposizione di questi stati. A questo punto si potrebbe essere tentati di affermare che un singolo qubit sia in grado di immagazzinare una quantità infinita di informazione classica, ma ciò risulta scorretto, in quanto sarebbero necessarie infinite misure su singoli qubit preparati tutti nello stesso stato per ottenere il giusto valore di 𝛼 e 𝛽. Un sistema a due livelli può essere utilizzato come qubit se è possibile effettuare le seguenti operazioni: il sistema può essere preparato in uno stato noto, detto anche stato puro o di fiducia del qubit; poi ogni stato del qubit può essere trasformato in un altro attraverso una trasformazione unitaria; infine lo stato del qubit dopo ogni trasformazione può essere misurato in riferimento alla base computazionale (|0⟩, |1⟩).

Risulta più immediato, nonché e comodo, utilizzare una rappresentazione geometrica del qubit e delle trasformazioni che operano sul suo stato; difatti, la condizione di normalizzazione

|𝑣⟩ ⊗ (|𝑤₁⟩ + |𝑤₂⟩ ) = |𝑣⟩ ⊗ |𝑤₁⟩ + |𝑣⟩ ⊗ |𝑤₂⟩

costringe il vettore di stato a muoversi su una sfera di raggio unitario, detta anche sfera di Bloch o Stokes. Utilizzando le coordinate polari sferiche la sfera di Bloch può essere immersa in uno spazio tridimensionale di coordinate Cartesiane: x = cos sin, y =sin sin , z = cos, di conseguenza un vettore di Bloch è caratterizzato dai due parametri angolari (,) oppure dalle tre coordinate cartesiane (x,y,z) con la condizione di normalizzazione: 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 1

Sulla sfera di Bloch, prendendo come riferimento la base computazionale, lo stato |𝜓⟩ = 𝛼|0⟩ + 𝛽|1⟩, può essere scritto come:

|𝜓⟩ = cos ^𝜃 |0⟩ + 𝑒^𝑖𝜙 sin ^𝜃 |1⟩ (0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋)

2 2

I valori di aspettazione per le tre coordinate di un qubit sulla sfera di Bloch si ottengono calcolando il valore di aspettazione dei rispettivi operatori di Pauli nella base computazionale.

Per lo stato dato da |𝜓⟩| e applicando le quattro matrici di Pauli 2×2 hermitiane e unitarie:

1 0 0 1 0 −𝑖 0 1

𝜎₀ ≡ 𝐼 = [0 1] 𝜎_𝑥 = [1 0] 𝜎_𝑦 = [𝑖 0 ] 𝜎_𝑧 = [1 −1]

si hanno i seguenti valori:

𝜎_𝑥|𝜓⟩ = 𝑒^{𝑖𝜙 𝜃 𝜃} ⟩

𝜎_𝑦|𝜓⟩ ^{𝜃 𝜃} ⟩

𝜎_𝑧|𝜓⟩ = cos ^𝜃 𝑒^{𝑖𝜙 𝜃} ⟩

da cui i valori di aspettazione:

⟨𝜓|𝜎_𝑥|𝜓⟩ = sin 𝜃 cos𝜙 = 𝑥

⟨𝜓|𝜎_𝑦|𝜓⟩ = sin 𝜃 sin 𝜙 = 𝑦 ⟨𝜓|𝜎_𝑧|𝜓⟩ = cos 𝜃 = 𝑧

Per contestualizzare nella cornice storica le formule appena elencate si può ricordare che agli albori delle teorie della Quantum Tecnology, nel 1997, gli italiani si distinguono per la loro peculiare mente ingegneristica e si ha il primo progetto italiano di Crittografia (iQCspot).

Nel 2001 si ha 1° Prototipo di Crittografia Quantistica a stati entangled in collaborazione con la Swiss company ID Quantique, società privata con sede a Ginevra Svizzera, che di fatto è uno spin-off dell’Università di Ginevra e ha stretti legami con la leadership istituzionale e accademica.

Nello stesso anno gli studiosi Bovino, Varisco, Colla, Castagnoli, Sergienko presentano alla 6^ Conferenza Internazionale sulla “Quantum Communication” un dimostratore, che utilizza i fotoni-entangled su dei link con crittografia quantistica.

Per quanto riguarda il calcolo quantistico, esso è diventato possibile tutto-ottico, quando nel 2001 vi è stata la svolta nota come lo schema KLM (Knill-Laflamme-Milburn), che ha dimostrato che il calcolo quantistico è scalabile ed è possibile utilizzando solo sorgenti a singolo fotone, con rivelatori e circuiti ottici lineari.